Question

已知集合S_n={X|X=（x₁，x₂，…，x_n），x_i∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）對于A=（a₁，a₂，…a_n，），B=（b₁，b₂，…b_n，）∈S_n，定義A與B的差為A-B=（|a₁-b₁|，|a₂-b₂|，…|a_n-b_n|）；
A與B之間的距離為d(A，B)=

n

i=1

|ai-bi|
（Ⅰ）證明：?A，B，C∈S_n，有A-B∈S_n，且d（A-C，B-C）=d（A，B）；
（Ⅱ）證明：?A，B，C∈S_n，d（A，B），d（A，C），d（B，C）三個數中至少有一個是偶數
（Ⅲ）設P⊆S_n，P中有m（m≥2）個元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為

.

d

(P)．
證明：

.

d

(P)≤

mn

2(m-1)

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因為每個數位上都是0或者1，取差的絕對值仍然是0或者1，符合S_n的要求．
然后是減去C的數位，不管減去的是0還是1，每一個a和每一個b都是同時減去的，
因此不影響他們原先的差．
（Ⅱ）先比較A和B有幾個不同（因為距離就是不同的有幾個），然后比較A和C有幾個不同，
這兩者重復的（就是某一位上A和B不同，A和C不同，那么這一位上B和C就相同）去掉兩次
（因為在前兩次比較中各計算了一次），剩下的就是B和C的不同數目，
很容易得到這樣的關系式：h=k+l-2i，從而三者不可能同為奇數．
（Ⅲ）首先理解P中會出現C_m²個距離，所以平均距離就是距離總和再除以C_m²，
而距離的總和仍然可以分解到每個數位上，第一位一共產生了多少個不同，
第二位一共產生了多少個不同，如此下去，直到第n位．然后思考，
第一位一共m個數，只有0和1會產生一個單位距離，因此只要分開0和1的數目即可，
等算出來t1(m-t1)≤

m2

4

，一切就水到渠成了．
此外，這個問題需要注意一下數學語言的書寫規范．

解答：解：（1）設A=（a₁，a₂，…，a_n），B=（b₁，b₂，…，b_n），C=（c₁，c₂，…，c_n）∈S_n
因a_i，b_i∈0，1，故|a_i-b_i|∈0，1，（i=1，2，…，n）a₁b₁∈0，1，
即A-B=（|a₁-b₁|，|a₂-b₂|，…，|a_n-b_n|）∈S_n
又a_i，b_i，c_i∈（0，1），i=1，2，…，n
當c_i=0時，有||a_i-c_i|-|b_i-c_i||=|a_i-b_i|；
當c_i=1時，有||a_i-c_i|-|b_i-c_i||=|（1-a_i）-（1-b_i）=|a_i-b_i|
故d(A-C，B-C)=

n

i=1

|ai-bi|=d(A，B)
（2）設A=（a₁，a₂，…，a_n），B=（b₁，b₂，…，b_n），C=（c₁，c₂，…，c_n）∈S_n
記d（A，B）=k，d（A，C）=l，d（B，C）=h
記O=（0，0，…，0）∈S_n，由第一問可知：
d（A，B）=d（A-A，B-A），d=（O，B-A）=k
d（A，C）=d（A-A，C-A）=d（O，C-A）=l
d（B，C）=d（B-A，C-A）=h
即|b_i-a_i|中1的個數為k，|c_i-a_i|中1的個數為l，（i=1，2，…，n）
設t是使|b_i-a_i|=|c_i-a_i|=1成立的i的個數，則有h=k+l-2t，
由此可知，k，l，h不可能全為奇數，即d（A，B），d（A，C），d（B，C）三個數中至少有一個是偶數．
（3）顯然P中會產生C_m²個距離，也就是說，其中表示P中每兩個元素距離的總和．
分別考察第i個位置，不妨設P中第i個位置一共出現了t_i個1，那么自然有m-t_i個0，因此在這個位置上所產生的距離總和為ti(m-ti)≤

m2

4

，（i=1，2，…，n），
那么n個位置的總和
即

點評：本題是綜合考查集合、數列與推理綜合的應用，這道題目的難點主要出現在讀題上，需要仔細分析，以找出解題的突破點．題目所給的條件其實包含兩個定義，第一個是關于S_n的，其實S_n中的元素就是一個n維的坐標，其中每個坐標值都是0或者1，也可以這樣理解，就是一個n位數字的數組，每個數字都只能是0和1，第二個定義叫距離，距離定義在兩者之間，如果直觀理解就是看兩個數組有多少位不同，因為只有0和1才能產生一個單位的距離，因此這個大題最核心的就是處理數組上的每一位數，然后將處理的結果綜合起來，就能看到整體的性質了．