Question

（本小題13分）如圖，棱錐的底面是矩形，⊥平面，，

（1）求證：⊥平面；
（2）求二面角的大小；
（3）求點到平面的距離.

Answer 1

(1)見解析；（2）；（3）

試題分析：(方法一)證明：（1）在中，，，
所以為正方形，因此. ∵⊥平面，平面，
∴.又∵, ∴⊥平面.                    ……４分               
（2）解：由⊥平面，知為在平面內的射影，
又,∴,知為二面角的平面角.   
又∵,∴ .                                     ……９分                                                    
（3）∵，∴，
設到面的距離為，
由，有，                        
即，
得.                                                        ……1４分       
（方法二）證明：（Ⅰ）建立如圖所示的直角坐標系，

則、、.
在中，， ,∴，
∴   ∵，
即，又∵, ∴⊥平面.          ……４分               
解：（2）由（Ⅰ）得.
設平面的法向量為，則
即，∴  故平面的法向量可取為                               
∵⊥平面，∴為平面的法向量. 
設二面角的大小為，依題意可得，
∴                                                          ……９分                                                     
（3）由（Ⅰ）得，
設平面的法向量為，
則，即，∴，
故平面的法向量可取為.                             
∵，∴到面的距離為.         ……1４分
點評：解決空間中的平行、垂直以及距離等問題，有傳統方法和向量方法兩種方法，用傳統方法時，要注意緊扣定理，把符合定理的條件都列出來；用向量方法時，運算量較大，要仔細、快速進行.