Question

已知函數f（x），如果存在給定的實數對（a，b），使得f（a+x）•f（a-x）=b恒成立，則稱f（x）為“S-函數”．
（1）判斷函數f₁（x）=x，f₂（x）=3^x是否是“S-函數”；
（2）若f₃（x）=tanx是一個“S-函數”，求出所有滿足條件的有序實數對（a，b）；
（3）若定義域為R的函數f（x）是“S-函數”，且存在滿足條件的有序實數對（0，1）和（1，4），當x∈[0，1]時，f（x）的值域為[1，2]，求當x∈[-2012，2012]時函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）假設是S-函數，列出方程恒成立，通過判斷方程的解的個數判斷出f₁（x）不是，對于f₂（x）對于列出方程恒成立．
（2）據題中的定義，列出方程恒成立，通過兩角和差的正切公式展開整理，令含未知數的系數為0，求出a，b．
（3）利用題中的新定義，列出兩個等式恒成立；將x用2+x代替，兩等式結合得到函數值的遞推關系；用不完全歸納的方法求出值域．

解答：解：（1）若f₁（x）=x是“S-函數”，則存在常數（a，b），使得（a+x）（a-x）=b．
即x²=a²-b時，對x∈R恒成立．而x²=a²-b最多有兩個解，矛盾，
因此f₁（x）=x不是“S-函數”．（3分）
若f₂（x）=3^x是“S-函數”，則存在常數a，b使得3^a+x•3^a-x=3^2a，
即存在常數對（a，3^2a）滿足．
因此f₂（x）=3^x是“S-函數”（6分）
（2）f₃（x）=tanx是一個“S-函數”，設有序實數對（a，b）滿足：
則tan（a-x）tan（a+x）=b恒成立．
當a=kπ+

π

2

，k∈Z時，tan（a-x）tan（a+x）=-cot²（x），不是常數．（7分）
因此a≠kπ+

π

2

， k∈Z，x≠mπ+

π

2

， m∈Z，
則有

tana-tanx

1+tana•tanx

×

tana+tanx

1-tana•tanx

=

tan2a-tan2x

1-tan2atan2x

=b．
即（b•tan²a-1）tan²x+（tan²a-b）=0恒成立．（9分）
即

b•tan2a-1=0 tan2a-b=0

?

tan2a=1 b=1

?

a=kπ± π 4 b=1

，k∈Z，
當x=mπ+

π

2

，  m∈Z，a=kπ±

π

4

時，tan（a-x）tan（a+x）=cot²（a）=1．
因此滿足f₃（x）=tanx是一個“S-函數”的常數（a，b）=(kπ±

π

4

，1)， k∈Z．（12分）
（3）函數f（x）是“S-函數”，且存在滿足條件的有序實數對（0，1）和（1，4），
于是f（x）•f（-x）=1，f（1+x）•f（1-x）=4，
即f（1+x）•f（1-x）=4?f（x）f（2-x）=4，x∈[1，2]時，2-x∈[0，1]，f(x)=

4

f(2-x)

∈[2， 4]，
∴x∈[0，2]時，f（x）∈[1，4]．（14分）

f(x)•f(-x)=1 f(1+x)•f(1-x)=4

?

f(-x)= 1 f(x) f(-x)= 4 f(2+x)

?f(2+x)=4f(x)．（16分）

x∈[2，4] 時，f(x)∈[4， 16]，x∈[4， 6] 時，f(x)∈[16， 26]， 依此類推可知 x∈[2k， 2k+2] 時，f(x)∈[22k， 22k+2]， x∈[2010， 2012] 時，f(x)∈[22010， 22012].

因此x∈[0，2012]時，f（x）∈[1，2²⁰¹²]，（17分）x∈[-2012， 0] 時，f(x)=

1

f(-x)

，-x∈[0， 2012]，f(-x)∈[1， 22012]?f(x)∈[2-2012， 1]．
綜上可知當x∈[-2012，2012]時函數f（x）的值域為[2^-2012，2²⁰¹²]．（18分）

點評：本題考查理解題中的新定義、判斷函數是否具有特殊函數的條件、利用新定義得到恒等式、通過仿寫的方法得到函數的遞推關系、考查利用歸納的方法得結論．