Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，AB為圓O的直徑，CD為垂直于AB的一條弦，垂足為E，弦BM與CD交于點F．
（Ⅰ）證明：A、E、F、M四點共圓；
（Ⅱ）證明：AC²+BF•BM=AB²．

Answer 1

證明：（I）如圖所示．
連接AM，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AMB=90°．
∴∠AMB+∠AEF=180°，
∴A、E、F、M四點共圓；
（II）連接AC，BC．
由A、E、F、M四點共圓，∴BF•BM=BE•BA．
連接AC，BC．則∠ACB=90°．
又CD⊥AB．
∴AC²=AE•AB．
∴AC²+BF•BM=AE•AB+BE•AB=AB²．