Question

已知數列單調遞增，且各項非負，對于正整數，若任意的，（≤≤≤），仍是中的項，則稱數列為“項可減數列”．

（1）已知數列是首項為2，公比為2的等比數列，且數列是“項可減數

列”，試確定的最大值；

（2）求證：若數列是“項可減數列”，則其前項的和；

（3）已知是各項非負的遞增數列，寫出（2）的逆命題，判斷該逆命題的真假，

并說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）2 （2）．     （3）（2）的逆命題為：已知數列為各項非負的遞增數列，若其前項的和滿足，則該數列一定是“項可減數列”，該逆命題為真命題．

【解析】(1)根據題意可知，

易得，即數列一定是“2項可減數列”.

（2）因為數列是“項可減數列”，

所以必定是數列中的項.

而是遞增數列，故，

所以必有，，

是解決本小題的關鍵.

(3) 的逆命題為：

已知數列為各項非負的遞增數列，若其前項的和滿足，

則該數列一定是“項可減數列”，該逆命題為真命題．

證明要注意利用≤≤,求出的通項公式.

（1）設，則，

易得，即數列一定是“2項可減數列”，

但因為，所以的最大值為2． ………………5分

（2）因為數列是“項可減數列”，

所以必定是數列中的項，  ………………………7分

而是遞增數列，故，

所以必有，，

則

，

所以，即．

又由定義知，數列也是“項可減數列”，

所以．       ……………………………10分

（3）（2）的逆命題為：

已知數列為各項非負的遞增數列，若其前項的和滿足，

則該數列一定是“項可減數列”，該逆命題為真命題．……………………12分

理由如下：因為≤≤，所以當≥時，，

兩式相減，得，即 （）

則當時，有（）

由（）－（），得，

又，所以，故數列是首項為0的遞增等差數列．

設公差為，則，

對于任意的≤≤≤，，

因為≤，所以仍是中的項，

故數列是“項可減數列”．