Question

在二項式（ax^m+bxⁿ）¹²（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展開式里最大系數項恰是常數項．
（1）求它是第幾項；
（2）求

a

b

的范圍．

Answer 1

分析：（1）利用二項展開式的通項公式確定出展開式中的常數項是第幾項是解決本小題的關鍵；
（2）通過系數最大列出關于a，b的不等式，通過整體思想確定出

a

b

的范圍．蘊含了不等式思想．

解答：解：（1）設T_r+1=C₁₂^r（ax^m）^12-r•（bxⁿ）^r=C₁₂^ra^12-rb^rx^{m（12-r）+nr}為常數項，
則有m（12-r）+nr=0，即m（12-r）-2mr=0，∴r=4，它是第5項．
（2）∵第5項又是系數最大的項，
∴有

C 4 12 a8b4≥ C 3 12 a9b3 ①   c 4 12 a8b4≥  c 5 12 a7b5  ②

由①得a⁸b⁴≥

4

9

a⁹b³，
∵a＞0，b＞0，∴

9

4

b≥a，即

a

b

≤

9

4

．
由②得

a

b

≥

8

5

，
∴

8

5

≤

a

b

≤

9

4

．

點評：本題考查二項是展開式的特定項是哪一項，考查方程思想，轉化思想，整體找出所求表達式的范圍，關鍵要建立合適的不等式．