Question

【題目】（12分）如圖，橢圓 （）的離心率，短軸的兩個端點分別為B1、B2，焦點為F1、F2，四邊形F1 B1F2 B2的內切圓半徑為

（1）求橢圓C的方程；

（2）過左焦點F1的直線交橢圓于M、N兩點，交直線于點P，設，，試證為定值，并求出此定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

試題解析：（1）設四邊形F1B1F2B2的內切圓與邊B1B2的切點為G，連接OG，則|OG|=

由S△OB2F2=|OB2||OF2|=|B2F2||OG|，|OB2|=b， |OF2|=c， |B2F2|=a，得bc=a

又∵e=

解得a=2，b=

故橢圓方程為：

（2）設直線MN的方程為y=k（x+1）代入橢圓方程，整理得

（3+4k2）x2+8k2x+4（k2-3）=0

設M（x1，y1），N（x2，y2）， 則x1+ x2= ，x1x2=

又P（-4，-3k），F2（-1，0）

由 ， 得

，

∴

∵

∴為定值