Question

【題目】已知函數．

（1）若曲線在點處的切線與曲線的公共點的橫坐標之和為3，求的值；

（2）當時，對任意，使恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）首先求出 和 ，代入切線公式 聯立函數解得 ，根據條件橫坐標之和為3，解得 ；（2）將不等式恒成立問題轉化為 ，根據 ，分別求函數 和 的最小值，即求得的取值范圍.

試題解析：（1），則，

所以切線方程為，代入得，則，

所以，即．

（2），

令，則，

令，則或，

因為，所以，

所以當和時， ，函數單調遞減，

當時， ，函數單調遞增，

所以函數的極小值為，又，

令，

易知，當時，函數單調遞增，故，所以，

即當時， ，

又，

其對應圖像的對稱軸為，所以時， ，

所以，故有，

又，因為，所以，

所以．