Question

【題目】設f′（x）是奇函數f（x）（x∈R）的導函數，f（﹣2）=0，當x＞0時，xf′（x）﹣f（x）＞0，則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】（﹣2，0）∪（2，+∞）
【解析】解：設g（x）= ，則g（x）的導數為：
g′（x）= ，
∵當x＞0時總有xf′（x）﹣f（x）＞0成立，
即當x＞0時，g′（x）＞0，
∴當x＞0時，函數g（x）為增函數，
又∵g（﹣x）= = = =g（x），
∴函數g（x）為定義域上的偶函數，
∴x＜0時，函數g（x）是減函數，
又∵g（﹣2）= =0=g（2），
∴x＞0時，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（2），解得：x＞2，
x＜0時，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（﹣2），解得：x＞﹣2，
∴f（x）＞0成立的x的取值范圍是：（﹣2，0）∪（2，+∞）．
故答案為：（﹣2，0）∪（2，+∞）．
構造函數g（x），利用g（x）的導數判斷函數g（x）的單調性與奇偶性，求出不等式的解集即可．