Question

設函數f（x）=（x＞0），數列{a_n}滿足（n∈N^*，且n≥2）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^n-1a_na_n+1，若T_n≥tn²對n∈N^*恒成立，求實數t的取值范圍；
（3）是否存在以a₁為首項，公比為q（0＜q＜5，q∈N^*）的數列，k∈N^*，使得數列中每一項都是數列{a_n}中不同的項，若存在，求出所有滿足條件的數列{n_k}的通項公式；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，（n∈N^*，且n≥2），知．再由a₁=1，能求出數列{a_n}的通項公式；
（2）當n=2m，m∈N*時，T_n=T_2m=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅++（-1）^2m-1a_2ma_2m+1=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）++a_2m（a_2m-1-a_2m+1）===．當n=2m-1，m∈N*時，T_n=T_2m-1=T_2m-（-1）^2m-1a_2ma_2m+1==．由此入手能求出實數t的取值范圍．
（3）由，知數列{a_n}中每一項都不可能是偶數．如存在以a₁為首項，公比q為2或4的數列{a_nk}，k∈N^*，此時{a_nk}中每一項除第一項外都是偶數，故不存在以a₁為首項，公比為偶數的數列{a_nk}．當q=1時，顯然不存在這樣的數列{a_nk}．當q=3時，，n₁=1，，．所以滿足條件的數列{n_k}的通項公式為．
解答：解：（1）因為，（n∈N^*，且n≥2），
所以a_n-a_n-1=．（2分）
因為a₁=1，
所以數列{a_n}是以1為首項，公差為的等差數列．
所以a_n=．（4分）
（2）①當n=2m，m∈N*時，T_n=T_2m=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅++（-1）^2m-1a_2ma_2m+1=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）++a_2m（a_2m-1-a_2m+1）=-=-=-．（6分）
②當n=2m-1，m∈N*時，T_n=T_2m-1=T_2m-（-1）^2m-1a_2ma_2m+1=-=．（8分）
所以T_n=
要使T_n≥tn²對n∈N^*恒成立，
只要使-，（n為偶數）恒成立．
只要使-，對n為偶數恒成立，
故實數t的取值范圍為．（10分）
（3）由a_n=，知數列{a_n}中每一項都不可能是偶數．
①如存在以a₁為首項，公比q為2或4的數列{a_nk}，k∈N^*，
此時{a_nk}中每一項除第一項外都是偶數，故不存在以a₁為首項，公比為偶數的數列{a_nk}．（12分）
②當q=1時，顯然不存在這樣的數列{a_nk}．
當q=3時，若存在以a₁為首項，公比為3的數列{a_nk}，k∈N^*．
則=1，n₁=1，=，n_k=．
所以滿足條件的數列{n_k}的通項公式為n_k=．（16分）
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意公式的合理運用．