Question

設點P在曲線y＝x²上，從原點向A(2,4)移動，如果直線OP，曲線y＝x²及直線x＝2所圍成的封閉圖形的面積分別記為S₁，S₂.

(1)當S₁＝S₂時，求點P的坐標；

(2)當S₁＋S₂有最小值時，求點P的坐標和最小值.,

Answer 1

【解析】(1)設點P的橫坐標為t(0<t<2)，則P點的坐標為(t，t²)，直線OP的方程為y＝tx，

S₁＝

S₂＝

因為S₁＝S₂，所以t＝，點P的坐標為

(2)S＝S₁＋S₂＝

S′＝t²－2，令S′＝0得t²－2＝0，t＝，

因為0<t<時，S′<0；<t<2時，S′>0，

所以，當t＝時，S_min＝，點P的坐標為(,2).

【變式備選】求由拋物線y²＝8x(y>0)與直線x＋y－6＝0及y＝0所圍成的圖形的面積.

【解析】由題意，作出圖形(如圖所示)，

解方程組

所以y²＝8x(y>0)與直線x＋y－6＝0的交點為(2,4)，

所以所求面積為S=