Question

【題目】如圖，四棱錐中，，，，，側面為等邊三角形．

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）取的中點，先證明平面，再根據線面垂直的性質可得；

（Ⅱ）建立空間直角坐標系，利用向量法求解線面角即可.

（Ⅰ）證明：如圖1，取的中點，連接，，，

由已知得四邊形為矩形，因此.

又∵側面為等邊三角形，∴.

∵，∴平面，

∵平面，∴.

（Ⅱ）如圖2，由（Ⅰ）知，過作平面，

則，，兩兩垂直，

分別以，，的方向為，，軸的正方向，建立空間直角坐標系，

則，，，，

∵，且在等邊三角形中，易知，

∴在中，由余弦定理得,

∴，

又，∴，

∴．∴，.

設平面的法向量，

由，得，

取，則．

設直線與平面所成角為，

∵，則，

∴直線與平面所成角的正弦值為.