Question

圖為一簡單組合體，其底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2．
（Ⅰ）答題卡指定的方框內已給出了該幾何體的俯視圖，請在方框內用黑色中性筆畫出其正視圖和側視圖（注意虛線和實線的差別）；
（Ⅱ）求四棱錐B-CEPD的體積V_E-CEFD；
（Ⅲ）求平面PEB和DCB所夾銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）按照三視圖所在的平面兩兩垂直，看不見的線用虛線，看得見的用實線畫出．
（2）由PD⊥平面ABCD，PD?平面PDCE，得到平面PDCE⊥平面ABCD，因為BC⊥CD所以BC⊥平面PDCE，從而有BC為高，然后求得底的面積，最后由棱錐體積公式求解．
（3）平面PEB和DCB所夾銳二面角的余弦值即

S△BCD

S△PEB

，分別求出兩個三角形的面積，代入可得答案．

解答：解：（1）該組合體的主視圖和側視圖如圖示：

（2）∵PD⊥平面ABCD，PD?平面PDCE
∴平面PDCE⊥平面ABCD
∵BC⊥CD
∴BC⊥平面PDCE（5分）
∵S梯形PDCE=

1

2

（PD+EC）•DC=

1

2

×3×2=3
∴四棱錐B-CEPD的體積VB-CEPD=

1

3

S梯形PDCE•BC=

1

3

×3×2=2
（3）設所求銳二面角為θ，
∵S_△BCD=

1

2

×2×2=2
在△PEB中
PE=BE=

5

，BD=2

2

，則BD上的高為

3

S_△PEB=

1

2

×

3

×2

2

=

6

則平面PEB和DCB所夾銳二面角的余弦值
cosθ=

S△BCD

S△PEB

=

6

3

點評：本題主要考查空間幾何體的三視圖，體積和線線，線面，面面平行關系的轉化，二面角的平面角，考查很全面，靈活，屬中檔題．