Question

如圖，在△ABC中，B=

π

4

，AC=2

5

，cosC=

2 5

5

．
（1）求sinA；
（2）記BC的中點為D，求中線AD的長．

Answer 1

分析：（1）根據同角三角函數基本關系，利用cosC求得sinC，進而利用兩角和公式求得sinA．
（2）先根據正弦定理求得BC，則CD可求，進而在△ADC中，利用余弦定理根據AC和cosC的值求得AD．

解答：解：（1）由cosC=

2 5

5

，C是三解形內角，
得sinC=

1-cos2C

=

1-( 2 5 5 )2

=

5

5

sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sin

π

4

cosC+cos

π

4

sinC
=

2

2

•

2

5

5

+

2

2

•

5

5

=

3 10

10

（2）在△ABC中，由正弦定理

BC

sinA

=

AC

sinB

，BC=

AC

sinB

sinA=

2 5

2 2

•

3 10

10

=6
?CD=

1

2

BC=3，又在△ADC中，AC=2

5

，cosC=

2 5

5

，
由余弦定理得，AD=

AC2+CD2-2AC•CD•cosC

=

20+9-2×2 5 ×3× 2 5 5

=

5

點評：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應用，涉及了同角三角函數基本關系，兩角和公式，綜合性很強．