Question

在平面幾何中有如下結論：等腰三角形底邊上任一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高，請你運用類比的方法將此命題推廣到空間中應為：

 

．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是類比推理，在由平面幾何性質，類比推理空間幾何體的性質，一般是：由點的性質類比推理線的性質，由線的性質類比推理面的性質，由面的性質類比推理體的性質．

解答：解：設等腰三角形ABC的底邊BC=a和腰AB=AC=b確定，
則它的高h確定，設P是底邊BC上任一點，P到兩腰的距離分別為h₁，h₂，
由面積分割得：S_△ABC=S_△PAB+S_△PAC，
即

1

2

ah=

1

2

b(h1+h2)，故 h1+h2=

a

b

h為定值．
類似地，設正三棱錐S-ABC的底面邊長和棱長確定，
則它的高h確定，底面積S確定，一個側面的面積S'也確定，
設P是底面ABC上任一點，P到到三個側面的距離分別為h₁，h₂，h₃，
由體積分割得：V_S-ABC=V_P-SAB+V_P-SBC+V_P-SAC，
即

1

3

Sh=

1

3

S′(h1+h2+h3)，故 h1+h2+h3=

S

S′

h為定值．
故答案為：底面邊長和側棱長都確定的底面上任意一點到三個側面的距離之和為定值

點評：本小題是一道類比推理問題，主要考查創新思維能力．事實上，平面幾何中的不少定理、結論都可以類比推廣到空間中去，值得我們進一步去探索和研究．