Question

在一次數學實踐活動課上，老師給一個活動小組安排了這樣的一個任務：設計一個方案，將一塊邊長為4米的正方形鐵片，通過裁剪、拼接的方式，將它焊接成容積至少有5立方米的長方體無蓋容器（只有一個下底面和側面的長方體）．該活動小組接到任務后，立刻設計了一個方案，如下圖所示，按圖1在正方形鐵片的四角裁去四個相同的小正方形后，將剩下的部分焊接成長方體（如圖2）．請你分析一下他們的設計方案切去邊長為多大的小正方形后能得到的最大容積，最大容積是多少？是否符合要求？若不符合，請你幫他們再設計一個能符合要求的方案，簡單說明操作過程和理由．

Answer 1

分析：（1）設切去正方形邊長為x，利用長方體的體積公式求得其容積表達式，再利用導數研究它的極值，進而得出此函數的最大值即可．（2）在（1）中之所以不符合要求，主要原因是因為裁去四個相同的小正方形形成資源浪費，沒有充分利用現有材料，重新設計方案時，必須充分考慮材料不浪費．

解答：解：（1）設切去正方形邊長為x，則焊接成的長方體的底面邊長為4-2x，高為x，
所以V₁=（4-2x）²•x=4（x³-4x²+4x）（0＜x＜2）．（4分）
∴V₁′=4（3x²-8x+4），（5分）
令V₁′=0，即4（3x²-8x+4）=0，解得x₁=

2

3

，x₂=2（舍去）．（7分）
∵V₁在（0，2）內只有一個極值，
∴當x=

2

3

時，V₁取得最大值

128

27

．

128

27

＜5，即不符合要求（9分）
（2）重新設計方案如下：
如圖①，在正方形的兩個角處各切下一個邊長為1的小正方形；如圖②，將切下的小正方形焊在未切口的正方形一邊的中間；如圖③，將圖②焊成長方體容器．新焊長方體容器底面是一個長方形，長為3，寬為2，此長方體容積V₂=3×2×1=6，顯然V₂＞5．
故第二種方案符合要求．
（13分）
注：第二問答案不唯一．

點評：利用導數解決生活中的優化問題，關鍵是要建立恰當的數學模型，把問題中所涉及的幾個變量轉化為函數關系式，這需要通過分析、聯想、抽象和轉化完成．函數的最值要由極值和端點的函數值確定．當函數定義域是開區間且在區間上只有一個極值時，這個極值就是它的最值．