Question

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D為線段AC的中點，E為線段PC上一點．

（1）求證：PA⊥BD；

（2）求證：平面BDE⊥平面PAC；

（3）當PA∥平面BDE時，求三棱錐E﹣BCD的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）

【解析】

（1）由，得到平面，從而得到．

（2）依據等腰及是中點得到，結合（1）中結論，可證明平面從而得到要求證的面面垂直．

（3）根據線面平行可得，從而為到平面的距離，為等腰直角三角形且腰長為，故可求的面積從而求得三棱錐的體積．

解：（1）證明：由， ，

平面，平面，且，

可得平面，由平面，可得；

（2）證明：由，為線段的中點，

可得，由平面，平面，

可得平面平面，又平面平面，

平面，且，即有平面，

平面，可得平面平面；

（3）平面，平面，且平面平面，

可得，又為的中點，

可得為的中點，且，

由平面，可得平面，

故，

則三棱錐的體積為．