Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，角α的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合且與單位圓相交于A點(diǎn)，它的終邊與單位圓相交于x軸上方一點(diǎn)B，始邊不動(dòng)，終邊在運(yùn)動(dòng)．
（1）若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-

4

5

，求tanα的值；
（2）若△AOB為等邊三角形，寫(xiě)出與角α終邊相同的角β的集合；
（3）若α∈[0，

2π

3

]，請(qǐng)寫(xiě)出弓形AB的面積S與α的函數(shù)關(guān)系式，并指出函數(shù)的值域．

Answer 1

分析：（1）由題意可得B（-

4

5

，

3

5

），根據(jù)三角函數(shù)的定義得；
（2）同理可得B的坐標(biāo)，注意兩種情況，然后由三角函數(shù)的定義可得；
（3）把弓形轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積之差，由導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得值域．

解答：解：（1）由題意可得B（-

4

5

，

3

5

），根據(jù)三角函數(shù)的定義得：tanα=

y

x

=-

3

4

；
（2）若△AOB為等邊三角形，則B（

1

2

，

3

2

）或（

1

2

，-

3

2

）
可得tan∠AOB=

y

x

=

3

或-

3

，故∠AOB=

π

3

，或-

π

3

；
故與角α終邊相同的角β的集合為：{β|β=

π

3

+2kπ，k∈Z}∪{β|β=-

π

3

+2kπ，k∈Z}；
（3）若α∈[0，

2π

3

]，則S_扇形=

1

2

αr²=

1

2

α，而S_△AOB=

1

2

×1×1×sinα=

1

2

sinα，
故弓形的面積S=S_扇形-S_△AOB=

1

2

α-

1

2

sinα，α∈[0，

2π

3

]，
求導(dǎo)數(shù)可得S′=

1

2

-

1

2

cosα=

1

2

（1-cosα）＞0，故S在區(qū)間[0，

2π

3

]上單調(diào)遞增，
S（0）=0，S（

2π

3

）=

π

3

-

3

4

，
故函數(shù)的值域?yàn)椋篬0，

π

3

-

3

4

]

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的定義和扇形的面積公式，屬基礎(chǔ)題．