Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知ba_n-2ⁿ=（b-1）S_n
（Ⅰ）證明：當b=2時，{a_n-n•2^n-1}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當b=2時，由題設條件知a_n+1=2a_n+2^{n．由此可知}a_n+1-（n+1）•2ⁿ=2a_n+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ=2（a_n-n•2^n-1），所以{a_n-n•2^n-1}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．
（Ⅱ）當b=2時，由題設條件知a_n=（n+1）2^n-1；當b≠2時，由題意得an+1-

1

2-b

•2n+1=ban+2n-

1

2-b

•2n+1=b(an-

1

2-b

•2n)，由此能夠導出{a_n}的通項公式．

解答：解：（Ⅰ）當當b=2時，由題意知2a₁-2=a₁，解得a₁=2，
且ba_n-2ⁿ=（b-1）S_n
ba_n+1-2ⁿ⁺¹=（b-1）S_n+1
兩式相減得b（a_n+1-a_n）-2ⁿ=（b-1）a_n+1
即a_n+1=ba_n+2ⁿ①
（Ⅰ）當b=2時，由①知a_n+1=2a_n+2ⁿ
于是a_n+1-（n+1）•2ⁿ=2a_n+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ=2（a_n-n•2^n-1）
又a₁-1•2⁰=1≠0，所以{a_n-n•2^n-1}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．
（Ⅱ）當b=2時，由（Ⅰ）知a_n-n•2^n-1=2^n-1，
即a_n=（n+1）2^n-1
當b≠2時，由①得an+1-

1

2-b

•2n+1=ban+2n-

1

2-b

•2n+1
=ban-

b

2-b

•2n=b(an-

1

2-b

•2n)
因此an+1-

1

2-b

•2n+1═b(an-

1

2-b

•2n)=

2(1-b)

2-b

•bn
即an+1=

1

2-b

•2n+1+

2(1-b)

2-b

•bn
所以an=

1

2-b

•2n+

2(1-b)

2-b

•bn-1．

點評：此題重點考查數(shù)列的遞推公式，利用遞推公式求數(shù)列的通項公式，同時考查分類討論思想；推移腳標兩式相減是解決含有S_n的遞推公式的重要手段，使其轉化為不含S_n的遞推公式，從而針對性的解決；在由遞推公式求通項公式是重視首項是否可以吸收是易錯點，同時重視分類討論，做到條理清晰是關鍵．