Question

【題目】如圖，在三棱臺ABCDEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.

(1)求證：BF⊥平面ACFD；

(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）由面面垂直性質定理得AC⊥平面BCFE，因此BF⊥AC.再根據平幾知識得BF⊥FC.最后根據線面垂直判定定理得結論（2）過點F作FQ⊥AK于Q，由三垂線定理得BQ⊥AK.即∠BQF是二面角B-AD-F的平面角．再根據解三角形得二面角B-AD-F的平面角的余弦值

試題解析：(1)證明　延長AD，BE，CF相交于一點K，如圖所示．

因為平面BCFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC＝BC，且AC⊥BC，

所以AC⊥平面BCFE，因此BF⊥AC.

又因為EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK為等邊三角形，且F為CK的中點，則BF⊥CK，且CK∩AC＝C，CK，AC都在平面ACFD內，

所以BF⊥平面ACFD.

(2)過點F作FQ⊥AK于Q，連接BQ.

因為BF⊥平面ACFD，AK在平面ACFD內，所以BF⊥AK，

則AK⊥平面BQF，BQ在平面BQF內，所以BQ⊥AK.

所以∠BQF是二面角B-AD-F的平面角．

在Rt△ACK中，AC＝3，CK＝2，得FQ＝.

在Rt△BQF中，FQ＝，BF＝，得cos∠BQF＝.

所以，二面角B-AD-F的平面角的余弦值為.