Question

已知橢圓C：

x2

m2

+y2=1的左、右焦點分別為F₁、F₂，離心率為

2

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線l：y=x+t（t＞0）與橢圓C交于A，B兩點．若原點O在以線段AB為直徑的圓內，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，可知m＞1，且e=

2

2

，由此可m²=2，從而可得橢圓C的方程；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則原點O在以線段AB為直徑的圓內，等價于x₁x₂+y₁y₂＜0，將直線與橢圓方程聯立，利用韋達定理，可建立不等式，從而可求實數t的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）依題意，可知m＞1，且e=

2

2

，所以e2=

1

2

=

a2-b2

a2

=1-

b2

a2

=1-

1

m2

，所以m²=2，即橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．…（5分）
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則原點O在以線段AB為直徑的圓內，等價于

π

2

＜∠AOB＜π（A，O，B三點不共線），也就等價于

OA

•

OB

＜0，即x₁x₂+y₁y₂＜0…①…（7分）
聯立

y=x+t x2+2y2=2

，得3x²+4tx+2（t²-1）=0，所以△=16t²-24（t²-1）＞0，即0＜t²＜3…②
且x1+x2=

-4t

3

，x1x2=

2t2-2

3

…（10分）
于是y1•y2=(x1+t)(x2+t)=x1x2+t2+t(x1+x2)=

t2-2

3

代入①式得，

2t2-2

3

+

t2-2

3

＜0，即t2＜

4

3

適合②式…（12分）
又t＞0，所以解得0＜t＜

2 3

3

即求．…（13分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量知識的運用，考查韋達定理，解題的關鍵是聯立方程，運用韋達定理解題．