Question

【題目】已知函數(shù)

（Ⅰ）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）若數(shù)列的前項(xiàng)和， ，求證：數(shù)列的前項(xiàng)和.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ；(Ⅲ)證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析： 將，求出切線方程求導(dǎo)后討論當(dāng)時(shí)和時(shí)的單調(diào)性證明，求出實(shí)數(shù)的取值范圍先求出、的通項(xiàng)公式，利用當(dāng)時(shí)， 得，下面證明：

解析：（Ⅰ）因?yàn)?/span>，所以， ，切點(diǎn)為.

由，所以，所以曲線在處的切線方程為，即

（Ⅱ）由，令，

則（當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)）.故在上為增函數(shù).

①當(dāng)時(shí)， ,故在上為增函數(shù)，

所以恒成立，故符合題意；

②當(dāng)時(shí)，由于， ，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，

必存在，使得，由于在上為增函數(shù)，

故當(dāng)時(shí)， ,故在上為減函數(shù)，

所以當(dāng)時(shí)， ,故在上不恒成立，所以不符合題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為

（III）證明：由

由（Ⅱ）知當(dāng)時(shí)， ，故當(dāng)時(shí)， ，

故，故.下面證明：

因?yàn)?/span>

而，

所以， ，即：