Question

如圖，是一個從A→B的“闖關”游戲，規則規定：每過一關前都要拋擲一個在各面上分別標有1，2，3，4的均勻的正四面體。在過第n（n=1，2，3）關時，需要拋擲n次正四面體，如果這n次面朝下的數字之和大于2ⁿ，則闖關成功。

（1）求闖第一關成功的概率；
（2）記闖關成功的關數為隨機變量X，求X的分布列和數學期望。

Answer 1

解：（1）拋一次正四面體面朝下的數字有1，2，3，4四種情況，大于2的有兩種情況，故闖第一關成功的概率為。
（2）記事件“拋擲n次正四面體，這n次面朝下的數字之和大于2n”為事件An， 則P（A1）=，拋擲兩次正四面體面朝下的數字之和的情況如圖所示， 易知 設拋擲三次正四面體面朝下的數字依次記為：x，y，z， 考慮x+y+z>8的情況，當x=1時，y+z>7有1種情況； 當x=2時，y+z>6有3種情況； 當x=3時，y+z>5有6種情況； 當x=4時，y+z>4有10種情況 故 由題意知，X的所有可能取值為0，1，2，3 ∴X的分布列為 ∴。