Question

【題目】如圖，在棱長均相等的正四棱錐P-ABCD中，O為底面正方形的重心，M，N分別為側棱PA，PB的中點，有下列結論：

①PC∥平面OMN；

②平面PCD∥平面OMN；

③OM⊥PA；

④直線PD與直線MN所成角的大小為90°．

其中正確結論的序號是______．（寫出所有正確結論的序號）

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

連接AC，易得PC∥OM，可判結論①．

證得平面PCD∥平面OMN，可判結論②正確．

由勾股數可得PC⊥PA，得到OM⊥PA，可判結論③正確．

根據線線平行先找到直線PD與直線MN所成的角為∠PDC，知三角形PDC為等邊三角形，所以∠PDC＝60°，可判④錯誤．

如圖，連接AC，易得PC∥OM，所以PC∥平面OMN，結論①正確．

同理PD∥ON，所以平面PCD∥平面OMN，結論②正確．

由于四棱錐的棱長均相等，所以AB2+BC2＝PA2+PC2＝AC2，所以PC⊥PA，又PC∥OM，所以OM⊥PA，結論③正確．

由于M，N分別為側棱PA，PB的中點，所以MN∥AB，又四邊形ABCD為正方形，所以AB∥CD，所以直線PD與直線MN所成的角即為直線PD與直線CD所成的角，為∠PDC，知三角形PDC為等邊三角形，所以∠PDC＝60°，故④錯誤．

故答案為：①②③．