Question

已知正項數列的前n項和滿足：，
（1）求數列的通項和前n項和；
（2）求數列的前n項和；
（3）證明：不等式  對任意的，都成立．

Answer 1

（1）∴           
（2）      （3）見解析

第一問中，由于所以
兩式作差，然后得到
從而得到結論
第二問中，利用裂項求和的思想得到結論。
第三問中，

又
   
結合放縮法得到。
解：（1）∵    ∴
∴
∴  ∴ ………2分
又∵正項數列，∴          ∴ 
又n=1時，
∴  ∴數列是以1為首項，2為公差的等差數列……………3分
∴                            …………………4分
∴                  …………………5分 
（2）      …………………6分
∴
                  …………………9分
（3）
  …………………12分
又
    ，
∴不等式  對任意的，都成立．