Question

已知函數(shù)，其中a為常數(shù).

（1） 當(dāng)時，求的最大值；

（2） 若在區(qū)間（0，e］上的最大值為-3，求a的值；

（3） 當(dāng) 時，試推斷方程=是否有實數(shù)解.

Answer 1

 解：(1) 當(dāng)a=-1時，f（x）=-x+lnx，

f′(x)=－1+

當(dāng)0<x<1時，f′(x)>0；當(dāng)x>1時，f′(x)<0.

∴f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)，=f（1）=-1

(2) ∵f′(x)=a+，x∈(0,e］，∈

① 若a≥，則f′(x)≥0， f(x)在(0,e］上增函數(shù)

∴=f（e）=ae+1≥0.不合題意

② 若a<，則由f′(x)>0>0，即0<x<

由f(x)<0<0，即<x≤e.  從而f(x)在上增函數(shù),在為減函數(shù)

∴=f=-1+ln

令-1+ln=-3，則ln=-2∴=，即a=.

 ∵<,

∴a=為所求

(3) 由（Ⅰ）知當(dāng)a=-1時=f（1）=-1，

∴|f（x）|≥1

又令g（x）=,g′（x）=,令g′(x)=0，得x=e,

當(dāng)0<x<e時，g′(x)>0,g(x)  在(0,e)單調(diào)遞增；當(dāng)x>e時,g′(x)<0，g(x) 在(e,+∞)單調(diào)遞減∴=g（e）= <1, ∴g(x)<1 

∴|f（x）|>g(x),即|f(x)|>     ∴方程|f（x）|=沒有實數(shù)解.