Question

對于數列{a_n}，定義{△a_n}為數列{a_n}的一等差數列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），
（1）若數列{a_n}通項公式an=

5

2

n2-

13

2

n(n∈N*)，求{△a_n}的通項公式；
（2）若數列{a_n}的首項是1，且滿足△a_n-a_n=2ⁿ，①證明：數列{

an

2n

}為等差數列；②求{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）把依據數列的通項公式把a_n和a_n+1代入△a_n=a_n+1-a_n，進而求得{△a_n}的通項公式．
（2）①把△a_n=a_n+1-a_n代入△a_n-a_n=2ⁿ，等式兩邊同時除以2ⁿ⁺¹，得

an+1

2n+1

-

an

2n

=

1

2

，進而證出數列{

an

2n

}為等差數列．
②通過S_n-2S_n即錯位相減法，進而求得和S_n

解答：解（1）依題△a_n=a_n+1-a_n，
∴△an=[

5

2

(n+1)2-

13

2

(n+1)]-(

5

2

n2-

13

2

n)=5n-4，
（2）i）由△a_n-a_n=2ⁿ，即a_n+1-a_n-a_n=2ⁿ，即a_n+1=2a_n+2ⁿ，
∴

an+1

2n+1

=

an

2n

+

1

2

，
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=

1

2

．a1=1，

a1

2

=

1

2

，
所以數列{

an

2n

}是以

1

2

為首項，

1

2

為公差的等差數列．
ii）由i）得

an

2n

=

1

2

+

1

2

(n-1)=

n

2

，
∴an=

n

2

•2n=n•2n-1，
∴S_n=a₁+a₂+a₃+a_n=1•2⁰+2•2¹++n•2^n-1，①
∴2S_n=1•2¹+2•2²++n•2ⁿ②
①-②得-S_n=1+2+2²++2^n-1-n•2ⁿ=

1-2n

1-2

-n•2n，
∴S_n=n•2ⁿ-2ⁿ+1=（n-1）•2ⁿ+1．

點評：本題主要考查了等差數列的通項公式及求和公式的應用．等差數列的公式多，繁雜，所以平時應注意多積累．