Question

已知數列

1

1×2

，

1

2×3

，

1

3×4

，…

1

n(n+1)

…計算S₁，S₂，S₃，根據據算結果，猜想S_n的表達式，并用數學歸納法進行證明．

Answer 1

分析：由數列

1

1×2

，

1

2×3

，

1

3×4

，…

1

n(n+1)

…，分別令n=1，2，3，求得S₁，S₂，S₃，的值，猜想S_n的表達式，應用數學歸納法證明問題，①驗證n=1時命題成立；②假設n=k時，命題成立，從假設出發，經過推理論證，證明n=k+1時也成立，從而證明命題正確．

解答：解：
S1=1-

1

2

S2=1-

1

3

S3=1-

1

4

猜想：Sn=1-

1

n+1

下面用數學歸納法加以證明：①n=1時，左邊S1=1-

1

2

=

1

2

，右邊1-

1

2

=

1

2

②假設n=k時，猜想成立，即

1

1×2

+

1

2×3

++

1

k(k+1)

=1-

1

k+1

1

1×2

+

1

2×3

++

1

k(k+1)

+

1

(k+1)(k+2)

=1-

1

k+1

+

1

(k+1)(k+2)

=1-

1

k+1

(1-

1

k+2

)=1-

1

(k+1)+1

∴n=k+1時猜想也成立
根據1，2可知猜想對任何n∈N^*都成立．

點評：考查歸納、猜想、應用數學歸納法證明有關正整數命題的方法步驟，考查學生的計算、歸納、猜想能力，特別是②是關鍵，是核心，也是數學歸納法證明命題的難點所在，屬基礎題．