Question

一動圓和直線l：x=-

1

2

相切，并且經過點F(

1

2

，0)，
（Ⅰ）求動圓的圓心θ的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若過點P（2，0）且斜率為k的直線交曲線C于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）兩點．
求證：OM⊥ON．

Answer 1

分析：（I）根據圓的性質和拋物線的定義，可得動圓圓心θ的軌跡是以F為焦點，l為準線的拋物線．由此結合拋物線的標準方程加以計算，即可得到圓心θ的軌跡C的方程；
（II）設過點P（2，0）且斜率為k的直線的方程為y=k（x-2），與拋物線消去y得到關于x的一元二次方程．運用根與系數的關系算出x₁x₂、y₁y₂的值，從而得到

OM

•

ON

=0，所以

OM

⊥

ON

，使結論得證．

解答：解：（ I）∵動圓和直線l：x=-

1

2

相切，并且經過點F(

1

2

，0)，
∴圓心θ到F(

1

2

，0)的距離等于θ到定直線l：x=-

1

2

的距離，都等于圓的半徑…（2分）
根據拋物線的定義，可得：圓心θ的軌跡C就是以F為焦點，l為準線的拋物線，…（3分）
設拋物線方程為y²=2px，其中

p

2

=

1

2

，解得p=1
∴拋物線方程是y²=2x，即為所求軌跡C的方程．…（6分）
（ II）證明：設過點P（2，0）且斜率為k的直線的方程為
y=k（x-2）（k≠0）①…（7分）
代入y²=2x消去y，可得k²x²-2（k²+1）x+4k²=0．②…（8分）
由根與系數的關系，得x1x2=

4k2

k2

=4．…（9分）
結合y12=2x1，y22=2x2，可得y₁y₂=

4x 2x2

=2

x 2x2

=4．…（10分）
∴

OM

•

ON

=x1x2+y1y2=4-4=0，
由此可得向量

OM

、

ON

夾角為90°，即OM⊥ON．…（12分）

點評：本題給出滿足條件的動圓，求動圓的圓心θ的軌跡C的方程并證明OM⊥ON．著重考查了平面向量數量積的運算性質、拋物線的幾何性質和軌跡方程求法等知識，屬于中檔題．