Question

已知：設△ABC中，AD、BE為BC和AC邊上的高，AD、BE交于H點．求證：CH⊥BA．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：過C作三角形ABC的高CF，分別交BE，AD，AB于O₁，O₂，F． 由三角形ACD相似于三角形BCE，可得

AC

BC

=

CD

CE

，即AC×CE=BC×CD （1），由三角形CDO₂相似于三角形CBF得：

CD

CF

=

CO2

BC

，即CD×BC=CF×CO₂ （2），由三角形CEO₁相似于三角形AFC得：

CE

CF

=

CO1

AC

，即CE×AC=CF×CO₁ （3），三式比較可得三角形ABC得三條高交于一點O．從而命題得證．

解答： 解：三角形ABC中AC、BC上的高為BE和AD．
顯然三角形ACD相似于三角形BCE，
故有

AC

BC

=

CD

CE

，即AC×CE=BC×CD （1）
過C作三角形ABC的高CF，分別交BE，AD，AB于O₁，O₂，F．
由三角形CDO₂相似于三角形CBF得：

CD

CF

=

CO2

BC

，即CD×BC=CF×CO₂ （2）
由三角形CEO₁相似于三角形AFC得：

CE

CF

=

CO1

AC

，即CE×AC=CF×CO₁ （3）
根據等式（1）（2）（3）有 CF×CO₁=CF×CO₂，所以CO₁=CO₂，O₁、O₂重合，記重合點為O點，
則O點均在高AD，BE，CF上，所以三角形ABC得三條高交于一點O（即H）．
從而可證得CH⊥BA．

點評：本題主要考察了三角形相似的性質，考察了三線共點，屬于基本知識的考查．