Question

【題目】設各項均為正數的數列的前n項和為，已知，且，對一切都成立．

（1）當時，證明數列是常數列，并求數列的通項公式；

（2）是否存在實數，使數列是等差數列？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明詳見解析；；（2）存在，．

【解析】

（1）根據數列遞推關系可得，即可證明數列是常數列，再進一步求出數列的通項公式；

（2）先根據數列的前3項成等差數列求得，再證明一般性也成立.

解：（1）①當時，，

則，

即．

∵數列的各項均為正數，

∴．

∴，

化簡，得，①

∴當時，，②

②-①，得，

∵當時，，∴時上式也成立，

∴數列是首項為1，公比為2的等比數列，即．

（2）由題意，令，得；令，得．

要使數列是等差數列，必須有，解得．

當時，，且．

當時，，

整理，得，即，

從而，

化簡，得，即．

綜上所述，可得，．

∴時，數列是等差數列．