Question

已知：橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，焦距為8，且經過點（0，3）
（1）求此橢圓的方程
（2）若已知直線l：4x-5y+40=0，問：橢圓C上是否存在一點，使它到直線l的距離最小？最小距離是多少？

Answer 1

分析：（1）依題意可知c，根據經過點（0，3）求得b，進而根據a²=b²+c²求得a²，則橢圓方程可得；
（2）由直線l的方程與橢圓的方程可以知道，直線l與橢圓不相交，將直線l：4x-5y+40=0平移，使得其與橢圓相切，則可知切線與直線l的距離最小或最大，故設直線m平行于直線l，則直線m的方程可以寫成4x-5y+k=0與橢圓方程聯立，利用判別式為0可求．

解答：解：（1）由題意知，2c=8，c=4，
∴b=3，
從而a²=b²+c²=25，
∴方程是

x2

25

+

y 2

9

=1…（4分）
（2）由直線l的方程與橢圓的方程可以知道，直線l與橢圓不相交
設直線m平行于直線l，則直線m的方程可以寫成4x-5y+k=0（1）
由方程組

4x-5y+k=0 x2 25 + y 2 9 =1

消去y，得25x²+8kx+k²-225=0（2）
令方程（2）的根的判別式△=0，得64k²-4×25（k²-225）=0（3）
解方程（3）得k₁=25或k₂=-25，
∴當k₁=25時，直線m與橢圓交點到直線l的距離最近，此時直線m的方程為4x-5y+25=0
直線m與直線l間的距離d=

|40-25|

42+52

=

15

41

41

所以，最小距離是

15

41

41

．…（8分）

點評：本題以橢圓為載體，考查橢圓的標準方程，考查點線距離，考查學生分析解決問題的能力，解題的關鍵是將直線l：4x-5y+40=0平移，使得其與橢圓相切，則可知切線與直線l的距離最小或最大．