Question

在等比數列{a_n}中，前n項和為S_n，若S_m,S_m+2,S_m+1成等差數列，則a_m,a_m+2,a_m+1成等差數列.

(1)寫出這個命題的逆命題；

(2)判斷逆命題是否為真，并給出證明.

Answer 1

解：（1）逆命題：在等比數列 {a_n}中，前n項和為S_n，若a_m,a_m+2,a_m+1成等差數列，則S_m,S_m+2,S_m+1成等差數列；

（2）設{a_n}的首項為a₁，公比為q，則2a_m+2=a_m+a_m+1，于是2a₁q^m+1=a₁q^m-1+a₁q^m.

由a₁≠0,q≠0，化簡上式得2q²-q-1=0，

解得q=1或q=-,

當q=1時，∵S_m=ma₁,S_m+2=(m+2)a₁,S_(m+1)=（m+1）a₁,

∴S_m+S_m+1≠2S_m+2,

即S_m,S_m+2,S_m+1不成等差數列；

當q=-時,∵S_m+S_m+1=

而2S_m+2=，

∴S_m+S_m+1=2S_m+2，即S_m,S_m+2,S_m+1成等差數列；

綜上得，當公比q=1時，逆命題為假，當q=-時，逆命題為真.