Question

【題目】如圖，已知四棱錐中，平面平面，平面平面，為上任意一點，為菱形對角線的交點。

（1）證明：平面平面；

（2）若，當四棱錐的體積被平面分成3：1兩部分時，若二面角的大小為，求的值。

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）通過在面內作交線的垂線，和面面垂直性質定理證明面ABCD，再通過面PDB,證明平面平面。（2）設三棱錐的高為，由體積比可得，故此時為的中點�？勺C面面。過點作于點，連接，則，故即為二面角的平面角，即。進一步求的的值。方法二是利用空量向量求得比值。

（1）過點作于點G，由于平面面，所以面

面，故；同理，過點作于，則

面，面,且

所以面ABCD。所以，又，

故面，所以面面面。

（2）若四棱錐的體積被面分成3：1兩部分，則的體積是整個四棱錐體積的，設三棱錐的高為，則（為菱形的面積），所以，故此時為的中點，此時，并且，故面面，故面，，

過點作于點，則面，連接，則，故即為二面角的平面角，即

設，則，

在中，，故，

可解得，故

解法二：如圖建立坐標系，設則，設

則

面的法向量為，設面面的法向量為，則，取，則