Question

口袋里裝有大小相同的4個紅球和8個白球，甲、乙兩人依規則從袋中有放回地摸球，每次摸出一個，規則如下：①若一方摸出一個紅球，則此人繼續進行下一次摸球；若一方摸出一個白球，則改換為由對方進行下一次摸球；②每一個摸球彼此相互獨立，并約定由甲開始進行第一次摸球，求在前三次的摸球中：
（1）乙恰好摸到一個紅球的概率；
（2）甲至少摸到一個紅球的概率；
（3）甲摸到紅球的次數ξ的分布列及數學期望．

Answer 1

分析：（1）乙恰好摸到一個紅球包括兩種情況，甲第一次摸到一個紅球，第二次沒有摸到紅球改為乙摸球，且摸到一個紅球；二是甲第一次摸球，摸到一個白球，乙開始摸球摸到一個紅球，乙接著摸球，摸到一個白球．根據相互獨立事件同時發生的概率寫出結果．
（2）甲至少摸到一個紅球的對立事件是甲在前三次摸球中沒有摸到紅球，算出甲在前三次摸球中，沒有摸到紅球的概率，根據對立事件的概率公式得到甲至少摸到一個紅球的概率．
（3）甲摸到紅球的次數為ξ，根據題意知ξ的可能取值為0，1，2，3，結合變量對應的事件寫出變量的分布列，算出期望．

解答：解：記“甲摸球一次摸出紅球”為事件A“乙摸球一次摸出紅球”為事件B，
則P(A)=P(B)=

4

4+8

=

1

3

，P(

.

A

)=P(

.

B

)=

2

3

且A，B相互獨立．
（1）乙恰好摸到一個紅球包括兩種情況，甲第一次摸到一個紅球，第二次沒有摸到紅球改為乙摸球，且摸到一個紅球；
二是甲第一次摸球，摸到一個白球，乙開始摸球摸到一個紅球，乙接著摸球，摸到一個白球．
∴乙恰好摸到一個紅球的概率為P1=P(A•

.

A

•B)+P(

.

A

•B•

.

B

)=

1

3

×

2

3

×

1

3

+

2

3

×

1

3

×

2

3

=

2

9

（2）甲至少摸到一個紅球的對立事件是甲在前三次摸球中沒有摸到紅球
∵甲在前三次摸球中，沒有摸到紅球的概率為P=P(

.

A

•B)+P(

.

A

•

.

B

•

.

A

)=

2

3

×

1

3

+(

2

3

)3=

14

27

，
根據對立事件的概率公式得到
甲至少摸到一個紅球的概率為P2=1-P=1-

14

27

=

13

27

（3）甲摸到紅球的次數為ξ，根據題意知ξ的可能取值為0，1，2，3，
結合變量對應的事件寫出變量的分布列，
P(ξ=0)=P(

.

A

•B)+P(

.

A

•

.

B

•

.

A

)=

2

3

×

1

3

+(

2

3

)3=

14

27

，
P(ξ=1)=P(A•

.

A

)+P(

.

A

•

.

B

•A)=

1

3

×

2

3

+(

2

3

)2×

1

3

=

10

27

，
P(ξ=2)=P(A•A•

.

A

)=(

1

3

)2×

2

3

=

2

27

，
P(ξ=3)=P(A•A•A)=(

1

3

)3=

1

27

．
∴ξ的分布列為
∴數學期望Eξ=0×

14

27

+1×

10

27

+2×

2

27

+3×

1

27

=

17

27

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查相互獨立事件同時發生的概率，是一個綜合題，解題時注意離散型隨機變量對應的事件．