Question

（2013•甘肅三模）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面ABB₁A₁為矩形，AB=1，AA₁=

2

，D為AA₁的中點，BD與AB₁交于點O，CO丄側面ABB₁A₁．
（Ⅰ）證明：BC⊥AB₁；
（Ⅱ）若OC=OA，求三棱錐B₁-ABC的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證明BC⊥AB₁，可證明AB₁垂直于BC所在的平面BCD，已知CO垂直于側面ABB₁A₁，所以CO垂直于AB₁，只要在矩形ABB₁A₁內證明BD垂直于AB₁即可，可利用角的關系加以證明；
（Ⅱ）求三棱錐B₁-ABC的體積，可轉化為求三棱錐C-ABB₁ 的體積，在Rt△ABD中，可求得BD的值和OA的值，從而三棱錐的體積可求．

解答：（Ⅰ）證明：如圖，
因為ABB₁A₁是矩形，
D為AA₁中點，AB=1，AA1=

2

，AD=

2

2

，
所以在直角三角形ABB₁中，tan∠AB1B=

AB

BB1

=

2

2

，
在直角三角形ABD中，tan∠ABD=

AD

AB1

=

2

2

，
所以∠AB₁B=∠ABD，
又∠BAB1+∠AB1B=90°，∠BAB1+∠ABD=90°，
所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°，
即BD⊥AB₁，
又因為CO⊥側面ABB₁A₁，AB₁?側面ABB₁A₁，
所以CO⊥AB₁
所以，AB₁⊥面BCD，BC?面BCD，
故BC⊥AB₁．
（Ⅱ）解：在Rt△ABD中，可求得BD=

6

2

，OC=OA=

AD×AB

BD

=

2 2 ×1

6 2

=

3

3

．
S△ABB1=

1

2

AB•BB1=

2

2

．
VB1-ABC=VC-ABB1=

1

3

S△ABB1•OC=

1

3

•

2

2

•

3

3

=

6

18

．

點評：本題考查了直線與平面垂直的性質，考查了利用等積法求棱錐的體積，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．