Question

已知函數f（x）=．
（I）化簡函數f（x）的解析式，并求其定義域和單調區間；
（Ⅱ）若f（α）=，求sin2α的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）化簡函數f（x）的解析式2sin（x+），由題意可得sin（x-）≠0，故x-≠kπ，由此求得定義域．由
2kπ-≤x+≤2kπ+，k∈z求出函數的增區間；由 2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈z 求出函數的減區間．
（Ⅱ）由于 f（α）=2（cosα+sinα）=，可得cosα+sinα=，由此求得 sin2α 的值．
解答：解：（I）函數f（x）===（cosx+sinx）=2 sin（x+）．
由題意可得sin（x-）≠0，故x-≠kπ，故定義域為{x|x≠kπ+，k∈z}．
由 2kπ-≤x+≤2kπ+，k∈z，解得 2kπ-≤x≤2kπ+，k∈z，
故函數的增區間為 （ 2kπ-，2kπ+），k∈z．
由 2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈z，解得 2kπ-≤x≤2kπ+，k∈z，
故函數的減區間為（ 2kπ+，2kπ+ ），k∈z．
（Ⅱ）∵f（α）=2（cosα+sinα）=，∴cosα+sinα=，求得 sin2α=（cosα+sinα）²-1=-．
點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，余弦函數的定義域和值域、余弦函數的單調性的應用，屬于中檔題．