Question

給出下列命題：
①y=tanx在其定義域上是增函數；
②函數y=|sin(2x+

π

3

)|的最小正周期是

π

2

；
③p：

π

4

＜α＜

π

2

；q：f（x）=log_tanαx在（0，+∞）內是增函數，則p是q的充分非必要條件；
④函數y=lg(sinx+

sin2x+1

)的奇偶性不能確定．
其中正確命題的序號是（　　）

A．①②

B．②③

C．③④

D．①④

Answer 1

分析：①y=tanx在其定義域上的圖象不連續，故y=tanx在其定義域上不是單調函數；②由函數y=sin（2x+

π

3

）的最小正周期為π，知函數y=|sin(2x+

π

3

)|的最小正周期是

π

2

；③

π

4

＜α＜

π

2

⇒f（x）=log_tanαx在（0，+∞）內是增函數，f（x）=log_tanαx在（0，+∞）內是增函數⇒kπ+

π

4

＜α＜kπ+

π

2

，k∈Z；y=lg(sinx+

sin2x+1

)的為奇函數．

解答：解：y=tanx在其定義域上的圖象不連續，故①不正確；
由函數y=sin（2x+

π

3

）的最小正周期為π，
知函數y=|sin(2x+

π

3

)|的最小正周期是

π

2

，故②正確；
∵

π

4

＜α＜

π

2

，tanα＞1，
∴f（x）=log_tanαx在（0，+∞）內是增函數，
若f（x）=log_tanαx在（0，+∞）內是增函數，
則tanα＞1，kπ+

π

4

＜α＜kπ+

π

2

，k∈Z，
故③正確；
y=lg(sinx+

sin2x+1

)的定義域是R，
又f（x）+f（-x）=lg（sinx+

1+sin2x

）+lg（-sinx+

1+sin 2(-x)

）=lg1=0，
即f（-x）=-f（x），故函數f（x）為奇函數，所以④不正確．
故選B．

點評：本題考查命題的真假判斷，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意三角函數性質的靈活運用．