Question

已知函數f（x）=x³+bx²+cx+2．
（1）若f（x）在x=1時，有極值-1，求b、c的值；
（2）當b為非零實數時，f（x）是否存在與直線（b²-c）x+y+1=0平行的切線，如果存在，求出切線的方程，如果不存在，說明理由；
（3）設函數f（x）的導函數為f′（x），記函數|f′（x）|（-1≤x≤1）的最大值為M，求證：M≥

3

2

．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用f（x）在x=1時，有極值-1，建立方程，由此可求b、c的值；
（2）假設f（x）圖象在x=t處的切線與直線（b²-c）x+y+1=0平行，從而f′（t）=c-b²，利用方程△＜0，可得結論；
（3）|f′（x）|=|3(x+

b

3

)2+c-

b2

3

|，分類討論：①若|-

b

3

|＞1，即b＞3或b＜-3時，M應為f′（-1）與f′（1）中最大的一個；②若-3≤b≤0時，2M≥|f′（-1）|+|f′（-

b

3

）|；③若0＜b≤3時，2M≥|f′（1）|+|f′（-

b

3

）|，由此可得結論．

解答：解：（1）求導函數，可得f′（x）=3x²+2bx+c
∵f（x）在x=1時，有極值-1，
∴f′（1）=0，f（1）=-1
∴3+2b+c=0，1+b+c+2=-1
∴b=1，c=-5；…（3分）
（2）假設f（x）圖象在x=t處的切線與直線（b²-c）x+y+1=0平行，
∵f′（t）=3t²+2bt+c，直線（b²-c）x+y+1=0的斜率為c-b²，
∴3t²+2bt+c=c-b²，
∴3t²+2bt+b²=0
∴△=4b²-12b²=-8b²，
又∵b≠0，∴△＜0．
從而3t²+2bt+b²=0無解，因此不存在t，使f′（t）=c-b²，
故f（x）圖象不存在與直線（b²-c）x+y+1=0平行的切線．…（8分）
（3）∵|f′（x）|=|3(x+

b

3

)2+c-

b2

3

|，
①若|-

b

3

|＞1，即b＞3或b＜-3時，M應為f′（-1）與f′（1）中最大的一個，
∴2M≥|f′（-1）|+|f′（1）|≥|f′（-1）-f′（1）|≥|4b|＞12
∴M＞6＞

3

2

…（10分）
②若-3≤b≤0時，2M≥|f′（-1）|+|f′（-

b

3

）|≥|f′（-1）-f′（-

b

3

）|=|

1

3

（b-3）²|≥3，
∴M≥

3

2

…（12分）
③若0＜b≤3時，2M≥|f′（1）|+|f′（-

b

3

）|≥|f′（1）-f′（-

b

3

）|=|

1

3

（b+3）²|＞3，
∴M＞

3

2

綜上，M≥

3

2

…（14分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查不等式的證明，考查分類討論的數學思想，綜合性強．