Question

（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分.

已知是公差為的等差數列，是公比為的等比數列.

（1）       若，是否存在，有說明理由；

（2）       找出所有數列和，使對一切,,并說明理由；

（3）       若試確定所有的，使數列中存在某個連續項的和是數列中的一項，請證明.

Answer 1

（1）由，                        ……2分

           整理后，可得，，為整數，

          不存在，使等式成立.                           ……5分

       （2）解法一  若即，        （*）

          （i）若，

            當為非零常數列，為恒等于1的常數列，滿足要求.……7分

          （ii）若，（*）式等號左邊取極限得（*）式等號右邊只有當時，才可能等于1，此時等號左邊是常數，，矛盾.

           綜上所述，只有當為非零常數列，為恒等于1的常數列，滿足要求.                                                 ……10分

        解法二  設，若，對都成立，且為等比數列，則，對都成立，即，

     ，對都成立，……7分

          （i）若，.

          （ii）若，則

           綜上所述，，使對一切，.  ……10分

           （3），

            設

           ，

          ，，            ……13分

      取，……15分

      由二項展開式可得整數，使得，

       

       存在整數滿足要求.

      故當且僅當，命題成立.                               ……18分

       說明：第（3）題若學生從以下角度解題，可分別得部分分（即分步得分）

    若為偶數，則為偶數，但為奇數.

    故此等式不成立，一定為奇數.                         ……1分

當，

而

            當為偶數時，存在，使成立，                  ……1分

當 ，

也即，，

由已證可知，當為偶數即為奇數時，存在，成立，……2分

當，

也即，而不是5的倍數，當所要求的不存在，

故不是所有奇數都成立.                                        ……2分

解析:

⑴知道了數列通項，可以把表達出來，因為，看是否滿足條件；

⑵寫出兩個數列的通項，根據公差的取值進行討論；

⑶由題意可知，數列的通項可以確定，設連續的項的的首項，可以求出這項的和，讓其等于數列的第k項，建立方程，因為，從這里入手進行計算.