Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）設(shè)函數(shù)，試討論函數(shù)零點的個數(shù)；

（2）若，，求證：

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：（1）先證明時，此時無零點；當(dāng)，分兩種情況討論 的范圍，分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象可得函數(shù)零點的個數(shù)；（2）要證明，要證，，只需證明要證，，只需證明,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù) 的單調(diào)性，可證明的最小值大于零，從而可得結(jié)果.

試題解析：（1）函數(shù)F（x）的定義域為．當(dāng)時，，所以．即F（x）在區(qū)間上沒有零點．當(dāng)時，，令 ．

只要討論h（x）的零點即可．當(dāng)時，，h（x）是減函數(shù)；當(dāng)時，，h（x）是增函數(shù)．所以h（x）在區(qū)間最小值為．

顯然，當(dāng)時，,所以是的唯一的零點；當(dāng)時，，所以F（x）沒有零點；當(dāng)時，，所以F（x）有兩個零點．

（2）若，，要證，即要證，

下證要證，，

設(shè)

，令

，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

在上只有一個零點 ，

，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

= ，又 ，

，即證.