Question

27、已知定義在R上的函數y=f（x）滿足下列三個條件：①對任意的x∈R都有f（x）=f（x+4）；②對于任意的0≤x₁＜x₂≤2，都有f（x₁）＜f（x₂），③y=f（x+2）的圖象關于y軸對稱，則下列結論中，正確的是（　　）

A、f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）

B、f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）

C、f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）

D、f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）

Answer 1

分析：求解本題需要先把函數的性質研究清楚，由三個條件知函數周期為4，其對稱軸方程為x=2，在區間[0，2]上是增函數，觀察四個選項發現自變量都不在已知的單調區間內故應用相關的性質將其值用區間[0，2]上的函數值表示出，以方便利用單調性比較大小．

解答：解：由①②③三個條件知函數的周期是4，在區間[0，2]上是增函數且其對稱軸為x=2
∴f（4.5）=f（0.5），
f（7）=f（3）=f（2+1）=f（2-1）=f（1），
f（6.5）f（2.5）=f（2+0.5）=f（2-0.5）=f（1.5）
∵0＜0.5＜1＜1.5＜2，函數y=f（x）在區間[0，2]上是增函數
∴f（0.5）＜f（1）＜f（1.5），即f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）
故選B．

點評：本題考點是函數單調性的應用，綜合考查了函數的周期性，函數的對稱性與函數的單調性，以及函數圖象的平移規律，涉及到了函數的三個主要性質，本題中同期性與對稱性的作用是將不在同一個單調區間上的函數值的大小比較問題轉化成一個單調區間上來比較，函數圖象關于直線x=a對稱，有兩個等價方程一為f（a+x）=f（a-x），一為f（x）=f（2a-x），做題時應根據題目條件靈活選擇對稱性的表達形式．