Question

【題目】已知拋物線： （）的焦點是橢圓： （）的右焦點，且兩曲線有公共點

（1）求橢圓的方程；

（2）橢圓的左、右頂點分別為， ，若過點且斜率不為零的直線與橢圓交于， 兩點，已知直線與相較于點，試判斷點是否在一定直線上？若在，請求出定直線的方程；若不在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 點在定直線上

【解析】試題分析：（1）由條件易得： ，從而得到橢圓的方程；

（2）先由特殊位置定出，猜想點在直線上，由條件可得直線的斜率存在， 設直線，聯立方程，消得： 有兩個不等的實根，利用韋達定理轉化條件即可.

試題解析：

（1）將代入拋物線得

∴拋物線的焦點為，則橢圓中，

又點在橢圓上，

∴， 解得，

橢圓的方程為

（2）方法一

當點為橢圓的上頂點時，直線的方程為，此時點， ，則直線和直線，聯立，解得，

當點為橢圓的下頂點時，由對稱性知： .

猜想點在直線上，證明如下：

由條件可得直線的斜率存在， 設直線，

聯立方程，

消得： 有兩個不等的實根，

，

設，則，

則直線與直線

聯立兩直線方程得（其中為點橫坐標）

將代入上述方程中可得，

即，

即證

將代入上式可得

，此式成立

∴點在定直線上.

方法二

由條件可得直線的斜率存在， 設直線

聯立方程，

消得： 有兩個不等的實根，

，

設，則，

，

由， ， 三點共線，有：

由， ， 三點共線，有：

上兩式相比得

，

解得

∴點在定直線上．