Question

已知，P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）是函數(shù)y=f（x）圖象上兩點(diǎn)，且線段P₁P₂中點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是．
（1）求證點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是定值； 
（2）若數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是（m∈N^*），n=1，2…m），求數(shù)列{a_n}的前m項(xiàng)和S_m； 
（3）在（2）的條件下，若m∈N^*時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由知，x₁+x₂=1，故y₁+y₂=+，由此能夠證明點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是定值．
（2）已知S_m=a₁+a₂+…+a_m=，利用倒序相加法能夠求出數(shù)列{a_n}的前m項(xiàng)和S_m．
（3）由，得12a^m（-）＜0對m∈N⁺恒成立．由此利用分類討論思想能夠求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）由知，x₁+x₂=1，則
y₁+y₂=+
=+
=+
=，
故點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是，為定值．
（2）已知S_m=a₁+a₂+…+a_m
=，
又S_m=a_m-1+a_m-2+…+a₁+a_m
=f（）+f（）+…+f（）+f（1）
二式相加，得
++…+，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024190721381565922/SYS201310241907213815659015_DA/23.png">，…m-1），故，
又f（1）==，從而．（12分）
（3）由，
得12a^m（-）＜0…①對m∈N⁺恒成立．
顯然，a≠0，
（ⅰ）當(dāng)a＜0時(shí)，由，得a^m＜0．
而當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)a^m＜0不成立，所以a＜0不合題意；
（ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，因?yàn)閍^m＞0，
則由式①得，．
又隨m的增大而減小，
所以，當(dāng)m=1時(shí)，1+有最大值，故a．（18分）
點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)的縱坐標(biāo)是定值的證明，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意倒序相加法、分類討論思想的靈活運(yùn)用．