Question

某市為了了解今年高中畢業生的體能狀況，從本市某校高中畢業班中抽取一個班進行鉛球測試，成績在8.0米（精確到0.1米）以上的為合格．把所得數據進行整理后，分成6組畫出頻率分布直方圖的一部分（如圖），已知從左到右前5個小組的頻率分別為0.04，0.10，0.14，0.28，0.30．第6小組的頻數是7．
（1）求這次鉛球測試成績合格的人數；
（2）用此次測試結果估計全市畢業生的情況．若從今年的高中畢業生中隨機抽取兩名，記X表示兩人中成績不合格的人數，求X的分布列及數學期望；
（3）經過多次測試后，甲成績在8～10米之間，乙成績在9.5～10.5米之間，現甲、乙各投擲一次，求甲比乙投擲遠的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意及所給的頻率分布直方圖的性質可知第6小組的頻率為1-（0.04+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.14，測試總人數為

7

0.14

=50（人），第4、5、6組成績均合格，人數為（0.28+0.30+0.14）×50=36（人）；
（2）由于X表示兩人中成績不合格得人數，由題意則X=0，1，2，利用隨機變量的定義及二項分布原理可知其分布列，并有符合二項分布的期望公式可求得期望；
（3）由題意利用幾何概型的概率公式，設甲、乙各投擲一次的成績分別為x、y米，利用面積比即可求出．

解答：解：（1）第6小組的頻率為1-（0.04+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.14，
∴此次測試總人數為

7

0.14

=50（人）．
∴第4、5、6組成績均合格，人數為（0.28+0.30+0.14）×50=36（人）．
（2）X=0，1，2，此次測試中成績不合格的概率為

14

50

=

7

25

，∴X～B(2，

7

25

).P(X=0)=(

18

25

)2=

324

625

，P(X=1)=

C

1 2

(

7

25

)(

18

25

)=

252

625

，P(X=2)=(

7

25

)2=

49

625

．
所求分布列為

X	0	1	2
P	324 625	252 625	49 625

E(X)=2×

7

25

=

14

25

，
（3）設甲、乙各投擲一次的成績分別為x、y米，
則基本事件滿足的區域為矩形ABCD，
而甲比乙投擲遠在區域直角三角形BEF中，
并且S_矩形ABCD=2×1=2，S△BEF=

1

2

×

1

2

×

1

2

=

1

8

，
所以甲比乙投擲遠的概率為：

1 8

2

=

1

16

．

點評：本小題主要考查統計與概率的相關知識，具體涉及到頻率分布直方圖、二項分布及幾何概型，關鍵是理解清楚題意及計算時要心細．