Question

已知點p是圓（x+1）²+y²=16上的動點，圓心為B．A（1，0）是圓內的定點；PA的中垂線交BP于點Q．
（1）求點Q的軌跡C的方程；
（2）若直線l交軌跡C于M，N（MN與x軸、y軸都不平行）兩點，G為MN的中點，求K_MN•K_OG的值（O為坐標系原點）．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用垂直平分線的性質可得|QA|=|QP|，由|QB|+|QP|=4，可得|QB|+|QA|=4，利用橢圓的定義可得點Q的軌跡是一個橢圓；
（2）法一：設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（x₁≠x₂，y₁≠y₂），則．代入可得，利用點差法可得．再利用斜率計算公式即可得出K_MN•K_OG的值；
法二：設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（x₁≠x₂，y₁≠y₂），直線MN的方程為y=kx+b（k≠0），則，
由于y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b，可得y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2b，利用斜率計算公式可得，將y=kx+b代入橢圓方程得：（4k²+3）x²+8kbx+4b²-12=0，利用根與系數的關系可得，代入得到，即可得出K_MN•K_OG的值．
解答：解：（1）由條件知：|QA|=|QP|，
∵|QB|+|QP|=4，
∴|QB|+|QA|=4，
∵|AB|=2＜4，
所以點Q的軌跡是以B，A為焦點的橢圓，
∵2a=4，2c=2，∴b²=3，
所以點Q的軌跡C的方程是．
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（x₁≠x₂，y₁≠y₂），則．
∵直線l與橢圓相較于點M，N，
∴，
∴，可得．
∵，
∴．
另解：設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（x₁≠x₂，y₁≠y₂），直線MN的方程為y=kx+b（k≠0），
則，
∵y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b，∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2b，
∴，
將y=kx+b代入橢圓方程得：（4k²+3）x²+8kbx+4b²-12=0，
∴，
∴，
所以．
點評：本題綜合考查了圓與橢圓的定義及其標準方程、線段的垂直平分線、直線與橢圓相交問題轉化為根與系數的關系、直線的斜率計算公式、點差法等基礎知識與基本技能，考查了數形結合的能力、推理能力、計算能力．