Question

已知p：?x∈R，m＜x2+

1

x2

恒成立；q：方程4x²+4（m-2）x+1=0無實根，若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：分別求出命題p，q為真命題時的取值范圍，然后利用若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數m的取值范圍．

解答：解：因為x2+

1

x2

≥2

x2? 1 x2

=2，所以要使?x∈R，m＜x2+

1

x2

恒成立，則m＜2，即p：m＜2．
方程4x²+4（m-2）x+1=0無實根，則△=16（m-2）²-4×4＜0，即（m-2）²＜1，解得1＜m＜3，即q：1＜m＜3．
因為p∨q為真命題，p∧q為假命題，則p，q一真一假．
若p真q假，則m≤1．
若p假q真，則2≤m＜3．
綜上實數m的取值范圍是m≤1或2≤m＜3．

點評：本題主要考查復合命題的真假與簡單命題真假之間的關系，比較基礎．