Question

已知函數f（x）=log_a

1-mx

x-1

（a＞0，a≠1，m≠1）是奇函數．
（1）當x∈（n，a-2）時，函數f（x）的值域是（1，+∞），求實數a與n的值；
（2）令函數g（x）=-ax²+8（x-1）a^f（x）-5，a≥8時，存在最大實數t，使得x∈（1，t]-5≤g（x）≤5恒成立，請寫出t與a的關系式．

Answer 1

分析：（1）由已知，f（x）+f（-x）=0對定義域中的x均成立．求出m=-1，利用函數的單調性求f（x）在x∈（n，a-2）上的值域，列出相應的方程組并解出即可．
（2）g（x）=-ax²+8（x-1）a^f（x）-5=-a（x-

4

a

）²+3+

16

a

，利用二次函數的圖象和性質求解．

解答：解：（1）由已知條件得f（x）+f（-x）=0對定義域中的x均成立．
∴

log	mx+1 -x-1 a

+

log	1-mx x-1 a

=0．
即

mx+1 -x-1

1-mx x-1

=1∴m²x²-1=x²-1對定義域中的x均成立．
=1，m=1（舍去）或=-1，∴m=-1．
∴f（x）=

log

x+1 x-1 a

（x＜-1或x＞1）
設t=

x+1

x-1

=1+

2

x-1

，
∴當a＞1時，f（x）在（1，+∞）上是減函數．
同理當0＜a＜1時，f（x）在（1，+∞）上是增函數．
∵函數f（x）的定義域為（1，+∞）∪（-∞，-1），
∴①當n＜a-2≤-1時有0＜a＜1．
∴f（x）在（n，a-2）為增函數，
要使值域為（1，+∞），
則

log n+1 n-1 a =1 a-2=-1

（無解）；
②當1≤n＜a-2時有a＞3．
∴f（x）在（n，a-2）為減函數，
要使f（x）的值域為（1，+∞），則

log a-1 a-3 a =1 n=1

，
∴a=2+

3

，n=1．
（2）g（x）=-ax²+8（x-1）a^f（x）-5=-ax²+8（x+1）-5=-a（x-

4

a

）²+3+

16

a

則函數y=g（x）的對稱軸x=

4

a

，∵a≥8∴x=

4

a

∈(0，

1

2

]．
∴函數y=g（x）在（1，t]上單調減．
則1＜x≤t，有g（t）＜g（x）＜g（1）
∵g（1）=11-a，又∵a≥8，∴g（1）=11-a≤3＜5．
∵t是最大實數使得x∈（1，t]-5≤g（x）≤5恒成立
∴-at²+8t+3=-5即at²-8t-8=0．

點評：本題考查函數的奇偶性和單調性，函數值域求解，考查數形結合、分類討論的思想．