Question

【題目】如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，側棱AA1⊥底面ABCD，E為棱AA1的中點，AB=2，AA1=3．

（Ⅰ）求證：A1C∥平面BDE；

（Ⅱ）求證：BD⊥A1C；

（Ⅲ）求三棱錐A-BDE的體積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）1

【解析】

（Ⅰ）證明：設AC∩BD=O，連接OE，先證明OE∥A1C，再證明A1C∥平面BDE；（Ⅱ）先證明BD⊥平面ACC1A1，再證明BD⊥A1C；（Ⅲ）由利用體積變換求三棱錐A-BDE的體積．

（Ⅰ）證明：設AC∩BD=O，連接OE，

在△ACA1中，∵O，E分別為AC，AA1的中點，∴OE∥A1C，

∵A1C平面BDE，OE平面BDE，

∴A1C∥平面BDE；

（Ⅱ）證明：∵側棱AA1⊥底面ABCD，BD底面ABCD，∴AA1⊥BD，

∵底面ABCD為正方形，∴AC⊥BD，

∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，

∵A1C平面ACC1A1，∴BD⊥A1C；

（Ⅲ）解：∵側棱AA1⊥底面ABCD于A，E為棱DD1的中點，且AA1=3，

∴AE=，即三棱錐E-ABD的高為．

由底面正方形的邊長為2，得．

∴．