Question

一次研究性課堂上，老師給出了函數f(x)=

x

1+|x|

(x∈R)，三位同學甲、乙、丙在研究此函數時分別給出命題：
①函數f（x）的值域為（-1，1）；
②若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）
③若規定f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x）），則fn(x)=

x

1+n|x|

對任意n∈N*恒成立．
你認為上述三個命題中正確的個數是（　　）

A．0個

B．1個

C．2個

D．3個

Answer 1

分析：由已知中函數的解析式，我們可以判斷出函數f(x)=

x

1+|x|

(x∈R)為奇函數，進而分類討論后求出函數f（x）的值域，進而可以判斷出①的真假；判斷出函數的單調性，根據函數單調性的性質，可以判斷②的真假；利用數學歸納法證明fn(x)=

x

1+n|x|

對任意n∈N*是否恒成立，可以判斷③的真假，進而得到答案．

解答：解：∵f（-x）-f（x）
∴f（x）為奇函數
∵f(x)=

x

1+|x|

=

x 1+x (x≥0) x 1-x (x＜0)

x≥0時，f(x)=

x

1+x

=1-

1

1+x

∈[0，1)
∵f（x）為奇函數，
∴當x＜0是，f（x）∈（-1，0）
總之，f（x）∈（-1，1）
故甲對
當x≥0時，f(x)=

x

1+x

=1-

1

1+x

∈[0，1)為增函數，
∵f（x）為奇函數
∴當x＜0是，f（x）∈（-1，0）為增函數
所以f（x）在（-1，1）上為增函數
故當x₁≠x₂時，則一定有f（x₁）≠f（x₂）
故乙對
若規定f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x）），
則當n=1時，f1(x)=

x

1+|x|

，滿足fn(x)=

x

1+n|x|

設n=k時，滿足fk(x)=

x

1+k|x|

當n=k+1時，f_K+1（x）=f（f_K（x））=

x 1+k|x|

1+| x 1+k|x| |

=

x

1+(k+1)|x|

即fn(x)=

x

1+n|x|

對任意n∈N*恒成立
故丙對
故選D

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，函數恒成立問題，數學歸納法，函數奇偶性，函數的單調性，函數的值域，是函數問題比較綜合的應用，其中判斷出函數的奇偶性，進而簡化判斷是解答本題的關鍵．